一、要点点击所谓建模思想，即将具有实际意义的应用问题，通过数学思考方法抽象、转化为数学模型，以达到问题的解决。我们所学习的各种数学概念、公式、法则、定理、推论等，都是一些具体的数学模型。数学建模是刻画现实世界本质联系的重要方法。为使学生掌握建模方法，经历真正的“做数学”和“用数学”的过程，我们的教科书也力图采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开，通过对一个个问题的研讨，逐步展开相应内容的学习，分析问题的过程就是建模过程，分析、解决问题的能力就是数学建模能力。

      数学建模的基本思路是：

      二、类型归纳

      初中数学建模方法归纳起来主要有：方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、三角函数或几何模型、统计与概率模型等。

      三、典例精析

      1、方程（组）模型：

      例1、张新和李明约到图书城去买书，请你根据他们的对话内容，求出李明上次所买书藉的原价。

      【解析】通过分析，可知本题的等量关系为：书的八折价+20 元会员卡=原书价-12 元，即可列出方程。

      解：设李明上次购买书籍的原价是x元由题意有0.8x+20=x-12，解得x=160 点评：本题的条件来源于两位学生的对话，题型新颖，要学会捕捉信息，分析数量关系，巧设未知数，列出方程（组）。

      2、不等式（组）模型：

      例2、某体育馆用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100 只，付款总额不得超过11815 元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题：

      （1）该采购员最多可进篮球多少只？

      （2）若该商场把这100 只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580 元，则采购员至少要购买篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？

      【解析】解：（1）设采购员最多可购进篮球 x只，则排球是（100-x）只，依题意得：130x+100（100-x）≤11815 解得x≤60.5 ∵x是整数，∴x=60。答：该采购员最多可购进篮球60只。

      （2）由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这100 只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球60只，此时排球40只。商场可盈利（160-130）×60+（120-100）× 40=2600（元）即该商场可盈利2600元。

      点评：解这类问题，要求既要读懂题意，更要看懂图表，获得正确的信息，理解显性或隐性的不等关系，通过构建不等式（组）解决问题。在市场经营、生产决策、体育竟技、方案设计、盈亏分析、投资决策等问题中都可考虑转化为不等式（组）求解。

      3、函数模型：

      例3、正方形ABCD 的边长为3a，两动点 E、F 分别从顶点B、C同时开始以相同的速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边 EG=BC，B、E、C、G在一直线上。

      （1）若BE=a，求DH的长；

      （2）当E点在BC边上的什么位置时， △DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。

      解：（1）连结FH，则FH//BE 且FH=BE， Rt △DFH 中，DF=3a-a=2a，FH=a，∠DFH= 90o，所以，DH= a。

      （2）设BE=x，△DHE的面积为y，依题意 y取最小值，△DHE的面积y的最小值为a2。点评：本题中的（2）就是通过构建二次函数模型来完成的。在社会生活中的最大（小）值、选择方案等问题多可用函数模型解决。

      4、三角函数或几何模型：

      例4，如图，一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3o方向有一座小岛C，继续向东航行60 海里到达B 处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3° ≈ ，tan21.3° ≈ , sin63.5°≈ ,tan63.5°≈2）

      【解析】如图，过C作AB 的垂线，交直线 AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD。设BD=x 海里，在Rt △ BCD 中， CD=x·tan63.5° 在Rt△ACD 中，CD=（60+ x）·tan21.3° ∴x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°，即2x= (60+x)，解得，x=15 点评：本题的图形是一个双直角三角形，是解直角三角形中最常见的基本图形，它本身就是一个数学模型。实际生活中的测量、航海、边角余料加工、工程定位、坡比计算等应用题，都涉及一定图形的性质，常需要建立相应的三角函数或几何模型求解。

      5、统计与概率模型：

      例5：小华与小丽设计了A、B两种游戏：游戏A的规则：用3 张数字分别是2、3、4 的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字，若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字和为奇数，则小丽获胜。

      游戏B的规则；用4 张数字分别是5、6、8、 8 的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌，若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜；否则小丽获胜。请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由。

      解：对游戏A用列表法：

     所有可能出现的结果共有9 种，其中两数字和为偶数的有5 种，所以游戏A小华获胜的概率为，而小丽获胜的概率为，即游戏A 对小华有利，获胜的可能性大于小丽。对游戏B用列表法：

      所有可能出现的结果共有12 种，其中小华抽出的牌面上的数字比小丽大的有5 种；根据游戏B的规则，当小丽抽出的牌面上的数字与小华抽到的数字相同或比小华抽到的数字小时，则小丽胜，所以游戏B小丽获胜的概率为，即游戏B对小丽有利，获胜的可能性大于小华。

      点评：对游戏规则公平性的研究，实际上是事件发生可能性的一种应用，有利于培养同学们公平、公正的态度，形成正确的世界观。对于题目中出现掷骰子、玩扑克、摸球等游戏及其他随机事件时，可利用概率这一数学模型解决，在求概率时，一般要先列表或画树状图，从而直观得到概率。

      数学建模思想在日常生活中的应用很广，只要同学们夯实数学基础，关注社会热点，留心身边的数学，掌握所学的各种数学模型的特征与本质，就一定能熟练灵活地应用它们解题。