启发式教学，是当今实施素质教育，减轻学生负担，提高数学教学质量的主要方法。而启发式教学的关键则在于教师善于引导、启发学生主动参与和积极思考，充分发挥老师的主导作用和学生的主体作用。启发式教学中，教师的作用是外因，是催化剂，其落脚点是引导学生积极思考，并通过独立尝试建立新旧知识的联系，作出猜想或判断。启发式教学中的 “引”, 是把教师的“教”和学生的“学”有机地结合起来。本文就启发式教学中的“引”这个问题，谈谈自己在教学实践中获得的几点体会。

      一、在定义、定理、公式的教学中“引”

      数学教材涉及许多定义、定理、公式，这些内容都是前人经过长期探索发现总结得到的。在教学中有意识地选择一些定理、公式，让学生根据所学的知识去探索、发现、论证，不仅可以让学生感受到知识的发生过程，而且可以开启学生的智慧的大门，激发学生学习数学的兴趣。

      如初三几何圆和圆的位置关系，对于定理“相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦”的证明，教材是根据轴对称的性质来证明的。证明过程学生很难理解，也很难想到。课堂上可把这一问题放手让学生去探索，使学生在思维不受约束的情况下，根据所学知识得到异于课本且比较简捷的两种证法。

     证明1：连接O1A、O1B、O2A、O2B．

     ∵O1A=O1B，O2A=O2B,

     ∴点O1、O2在线段AB的垂直平分线上．

     ∴直线O1O2是AB的垂直平分线．

     证明2：连接O1A、O1B、O2A、O2B.

     ∵O1A=O1B, O2A=O2B , O1O2= O1O2 ,

     ∴△O1AO2≌△O1BO2.

     ∴∠A O1O2=∠B O1O2 .

     ∴O1O2垂直平分AB.

     通过引导学生对证明过程的探索，学生思维有一个质的飞跃。这种飞跃蕴含着自主学习意识的形成。经常如此，学生的思维能力就能逐渐得到培养。

     二、在习题的解答过程中“引”

     数学解题教学中，要引导学生敏锐的观察力和活跃的灵感。解题后让学生进行反思和引申，鼓励学生积极求异和富有创造性的想象，培养学生独立思考、自主学习的精神。如：学习了用待定系数法求二次函数解析式后,我给同学们配备了一组习题:已知抛物线分别满足下列条件,求抛物线解析式。

     ⑴抛物线过（-2，-5）, （0，-1）, （2，-1）三点；

     ⑵抛物线顶点为（-2，3 ）且经过点（-3，2 ）;

     ⑶抛物线的对称轴是直线x=1，最高点纵坐标为3，且经过点（1，0 ）;

     ⑷抛物线经过点（0，0 ）与（12，0 ），最高点的纵坐标是36。

      这组习题应用抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴、顶点坐标公式，对于学生来说完成它是轻而易举的，且解题过程都是用方程组，解题方法基本相同。如何通过这组习题培养学生独立思考的意识，提高优化命题的能力呢？我在布置这一组习题时，给学生提出两个问题：

      ⑴ 解完此组题后,总结解题方法及这组问题的特征。

      ⑵ 是否能不用抛物线对称轴、顶点坐标公式，求出满足条件的抛物线解析式？若能，请写出解法,并对解法进行总结。

      学生通过解决这一组问题，一方面熟练掌握了常规解法，另一方面可以发现不用对称轴和顶点坐标公式，也可以得到抛物线的顶点坐标，然后利用抛物线顶点式求解，从而使学生的思维能力得以培养。

      三、在“空间与图形”的教学中“引”

      启发式教学，就是在教师的引导和点拨下,使学生积极思考并自己先做出判断的教学方式。与数学的其他分支相比，几何图形的直观形象为学生进行自主探究，发展学生思维能力提供强有力的条件，即使解决简单的“空间与图形”问题，也常常需要运用观察、猜想、操作等各种手段，在借助图形进行合情推理的过程中，学生能增强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发潜在的思维能力，逐步形成独立思考的意识。如初三几何弦切角一节，有一例题：  

      如图：已知AB是⊙o的直径,AC是弦，直线CE和⊙o切于点C,AD⊥CE,垂足为D,求证:AC平分∠BAD．

      按课堂常规，解此题是找出弦切角所夹的弧所对的圆周角。

      证明：连接BC．

     ∵AB是⊙o的直径，∴∠ACB=900 .

     ∴∠B+∠CAB=900.

     ∵AD⊥CE,

     ∴∠ADC=900 .

     ∴∠ACD+∠CAD=900 .

     ∵AC是弦，CE切⊙o于点C,

     ∴∠ACD=∠B.

     ∴∠CAD =∠CAB.

     ∴AC平分∠BAD.

      此时若让学生独立思考，引导他们进行观察、猜想，利用已学的知识，学生容易想到切线的性质定理和平行线的性质，从而得到更为简便的证法。

      证明：连接OC.

     ∵ CE切⊙o于C，

     ∴OC⊥CE.

     ∵AD⊥CE，

     ∴OC∥AD.

     ∴∠1=∠2.

     ∵OC=OA，

      ∴∠1=∠3.

     ∴∠2=∠3.

      ∴AC平分∠BAD.

      学生在探索解题中，能运用旧知识解决新问题且异于课本中的解法，实际就是启发式教学中的“引”起到的作用。

      四、在“开放性问题”教学中“引”

      开放性的数学问题由于条件或结论或解法的不确定性，解题方法灵活，它不具有定向的解题思路，解题时不但要合情合理，实事求是地分析，而且要把归纳与演绎配合起来，把知觉发现与逻辑推理互相结合起来，把数学能力和心理能力同时发挥出来；同时要对具体问题分析打破常规，进行多项思维，培养学生思维的敏捷性、灵活性和创造性，从而对培养学生的独立思考能力、刻苦学习的精神起潜移默化作用。例如:在△ABC 中,∠c= 900 ,a、b、c 为△ABC 的三边，且 a-b=2, b∶c=3∶5,是否存在整数k,使方程x2-2(k＋1) x＋k2+12=0 的两个实数根的平方和等于△ABC 的斜边c 的平方？试判断之。

      分析：对于探索是否存在整数K满足一定条件的问题，首先假设K的值存在，依条件列出关系，求出K的值，然后再对K 的值进行判断，最后确定K的取值；如果对求出的所有K的值进行判断都不符合题意，则就不存在K的值满足题意。

      a-b=2 a=8 解：依题意得b∶c=3∶5 解得b= 6 a2 +b2=c2 c=10 设存在整数k满足题意且两根为x 1 、x2 ，则x1+x2=2(k+1) ，x1.x2=k2+12 ．

      ∴x1 2+x2 2=(x1+x2)2-2x1x2=4(k+1)2-2(k2+12)=100 .

      ∴k2+4k-60=0．

      ∴k=6或k=-10．

      当k=-10时，△=-124<0，当k=6时，△=4>0，

      ∴k=-10舍去。

      ∴存在整数k=6，满足题意。

      学生通过“开放性问题”探究学习，来获取知识、提升能力、形成价值观的学习方式，使学生的能力得到发展，思维习惯得到培养。

      综上所述，在落实素质教育的实践中，对学生进行启发式教学中的“引”，必须充分发挥课堂这一主渠道的作用，激发学生学习的主动性和积极性，引导学生大胆实践，勇于探索，利用出现的错误培养学生坚忍不拔，持之以恒，不怕困难和挫折的顽强意志和良好的人格特征，从而培养学生健康的创新情感和个性品质。